注：本文针对常用的连续分布：正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布、卡方分布与贝塔分布作了大致的介绍，需要记住它们的参数、数学期望与方差、以及密度函数，一个分布就是一个概率模型。
目录
各种分布之间的关系
1 正态分布
密度函数、分布函数、背景、参数 、参数
标准正态分布、标准化变换、由正态分布计算概率值、正态分布的3 原则
2 均匀分布
背景、密度函数、分布函数、均匀分布的密度函数与分布函数图
期望与方差、标准均匀分布
3 指数分布
背景、密度函数、指数分布密度函数图、分布函数
数学期望与方差、指数分布的无记忆性
4 伽马分布
伽马函数 、背景、密度函数、数学期望与方差、与指数分布 的关系
5 卡方分布 （Chi square)
与伽马分布的关系、密度函数、期望与方差
6 贝塔分布
背景、贝塔函数 、密度函数、数学期望与方差、与均匀分布的关系
【7】 对数正态分布
【8 】韦布尔分布 【9】 t分布 【 10 】F 分布
7 常用连续分布表
常用连续分布
各种分布之间的关系
伽马分布与指数分布：负二项分布与几何分布【离散分布】：伽马分布与卡方分布：正态分布与卡方分布：若 ，则贝塔分布与均匀分布：
【1 】正态分布
密度函数
正态分布的密度函数曲线又称“钟形曲线”
分布函数
或写成用分号隔开参数和随机变量的形式
其中参数 ，
背景:
测量误差常被认为服从正态分布/【高斯分布】，因为它是由大量微小的、独立的随机因素叠加的结果。
参数
是正态分布的数学期望，即 ,称 为正态分布的位置参数/对称中心，以 为对称轴，正态分布左右两边的密度函数曲线 与x 轴所围的面积各为0.5 ， 也是正态分布的中位数 。标准差 相同，而 不同时，相当于把密度函数曲线沿着x轴作水平位移，如下图所示
（图的右上角备注了不同颜色的曲线对应的参数）
若 ,则 X在离 越近取值的可能性越大；离 越远取值的可能性越小。
参数
是正态分布的方差，即 , 是正态分布的标准差， 越小，正态分布越集中，密度曲线越“高瘦”， 越大，正态分布越分散，密度曲线越“矮胖”， 又称为正态分布的尺度参数。若 ,则 其密度函数 在 处有两个拐点。设 ,则
标准正态分布
称 的正态分布 为标准正态分布，记U为标准正态变量， 标准正态分布的密度函数和分布函数 满足如下关系：
；对于 的值可直接查正态分布表。
标准化变换
正态分布的性质：正态变量的线性变换仍为正态变量，即
若 ，则当 时，有 .
若 ,则 ,其中 称为 X的标准化变换。
由正态分布计算概率值
涉及正态分布的概率计算，一般是先转化为标准正态，再查标准正态的分布函数表，即可求得概率值。
若 ,则 对任意的实数a 与b,有
正态分布的3原则
设 ，则
管理学中的六西格玛原则就是与均值 的标准偏差不小于 6，也就是这种差异的绝对值不小于3，表示当产品质量控制在这个范围内时，此时的产品无缺陷的概率高达99.73%，这个原则可用来降低产品与服务的缺陷次数。参考：六西格玛
后期再讲中心极限定理时，还会再次用到正态分布，它可以说是最基础最重要的连续分布了。
参考 正态分布（高斯分布） - hhaowang的博客
【2 】均匀分布
背景
向区间 内随机投点，使点落在任意相等长度的小区间内的可能性相等，则落点坐标服从均匀分布 .
密度函数
分布函数
均匀分布的密度函数与分布函数图
期望与方差
;
标准均匀分布
称区间（0，1）上的均匀分布为标准均匀分布，它是导出其它均匀分布随机数的桥梁。
【3】 指数分布
背景
很多产品的寿命 可认为（近似）服从指数分布；一个元器件/设备/系统 遇到外来冲击即告失效，则首次冲击来到的时间X(寿命)服从指数分布
密度函数
指数分布密度函数图
分布函数
数学期望与方差
指数分布的无记忆性
若 ，则对任意的 ，有
【4】 伽马分布
伽马函数
称 为伽马函数，其中参数 ，伽马函数具有如下性质：
,n为自然数；或写作
余元公式：对于 ,有
与贝塔函数 的关系 : 对于 ;伽马函数是严格凹函数。x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值:
背景：
若一个元器件能抵挡一些外来冲击，但遇到第k次冲击即告失效，则第k 次冲击来到的时间X(寿命)服从形状参数为k的伽马分布 .
密度函数:
为形状参数 ， 为尺度参数 ；
密度函数图如下所示，
数学期望与方差
与指数分布 的关系
若形状参数为整数k,则伽马变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和。即，
若 ,则 ,其中 【独立同分布】
【 5】 卡方分布 （Chi square)
与伽马分布的关系
称 的伽马分布为自由度为n的卡方分布，即
密度函数
期望与方差
注：后期再讲数理统计中的t分布与F分布时，再重新细讲卡方分布。参考重要抽样分布：卡方分布（χ2分布）、t分布和F分布
【6】 贝塔分布
背景
很多比率，比如，产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率....都是在区间（0，1）上取值的随机变量，可用beta分布来描述这些随机变量
贝塔函数
称 为贝塔函数，其中参数 。贝塔函数的性质：
密度函数
当 时，为f(x);否则为0.
其中 都是形状参数。【下图中 a就是 ，b就是 】
贝塔分布是定义在（0，1）区间上的连续概率分布，是伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布。
数学期望与方差
与均匀分布的关系
当 时的贝塔分布就是区间（0，1）上的均匀分布，即 .
【7】 对数正态分布
若X的密度函数为 如下 ，
则称X服从对数正态分布，记为 .其中 .
对数正态分布的密度函数图
对数正态分布的期望与方差
若 ， 则 .
与正态分布的关系：
若 ，则
【8 】韦布尔分布
【9】 t分布
【 10 】F 分布
7 常用连续分布表
概率论与数理统计教程-茆诗松-第二版 ；习题与解答
贝塔、伽马分布 - CSDN博客